Baccalauréat 2005 : Épreuve de mathématiques : exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice constitue une restitution organisée des connaissances

Partie A : question de cours

On suppose connus les résultats suivants :

Deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et Un-Vn tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini.
Si (Un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (Un) est croissante et (Vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a Un
Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente

Démontrer alors la proosition suivante :
" Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite".

Partie B :

On considère une suite (Un), définie sur N dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite (Vn) sur N par Vn=-2/Un

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et roposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

(1) Si (Un) est convergente, elors (Vn) est convergente.

(2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par -1.

(3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.

(4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.